Contoh Soal OSN Matematika

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2008
TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2009
Prestasi itu diraih bukan didapat !!!
SOLUSI SOAL
Bidang Matematika
Bagian Kedua
Disusun oleh : Eddy Hermanto, ST

 

Solusi
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2008
Bagian Kedua
BAGIAN KEDUA
1. 1 + x + x2 + ⋅⋅⋅ + xn = 40

x + x2 + ⋅⋅⋅ + xn = 39

x(1 + x + x2 + ⋅⋅⋅ + xn−1) = 39

Karena x dan n bilangan asli maka x merupakan faktor dari 39

Nilai x yang mungkin memenuhi adalah 1, 3, 13 atau 39.

• Jika x = 1 maka 1 + 12 + ⋅⋅⋅ + 1n = 39.

Jadi, n = 39

• Jika x = 3

Untuk x = 3 maka 3n+1 − 1 = 80

Nilai n yang memenuhi adalah n = 3.

Jika x = 13

2
                                    x n +1 − 1

= 40Karena x ≠ 1 maka 1 + x + x + ⋅⋅⋅ + x =

x −1

2
n
Untuk x = 13 maka 13n+1 − 1 = 480

13n+1 = 481 = 13 ⋅ 37

Karena 37 tidak habis dibagi 13 maka tidak ada n asli yang memenuhi.

Jika x = 39

                                    x n +1 − 1

= 40Karena x ≠ 1 maka 1 + x + x + ⋅⋅⋅ + x =

x −1

n
 Untuk x = 39 maka 39n+1 − 1 = 1520

39n+1 = 1521 = 392

Nilai n yang memenuhi adalah n = 1.

∴ Semua pasangan bilangan asli (x, n) yang memenuhi adalah (1, 39), (3, 3), (39, 1)

                                    x n +1 − 1

= 40Karena x ≠ 1 maka 1 + x + x + ⋅⋅⋅ + x =

x −1

2
n
2. Karena P(x) = 0 mempunyai 2008 selesaian real maka berlaku

P(x) = (x − x1)(x − x2)(x − x3) ⋅⋅⋅ (x − x2008) dengan xi semua real untuk i = 1, 2, ⋅⋅⋅, 2008.

Karena P(2008) ≤ 1 maka tidak mungkin semua xi < 2007.

P(Q(x)) = P(x2 + 2x + 2008)

P(Q(x)) = (x2 + 2x + 2008 − x1)(x2 + 2x + 2008 − x2)⋅⋅⋅(x2 + 2x + 2008 − x2008) = 0

Diskriminan x2 + 2x + 2008 − xi adalah Diskriminan = 4 − 4(2008 − xi)

Diskriminan = 4(xi − 2007) untuk i = 1, 2, ⋅⋅⋅, 2008.

Karena tidak semua xi < 2007 maka akan terdapat xk sehingga Diskriminan = 4(xi − 2007) ≥ 0.

Karena diskriminan ≥ 0 maka terbukti ada sedikitnya 2 bilangan x real yang memenuhi P(Q(x))= 0

∴ Terbukti bahwa persamaan P(Q(x)) = 0 mempunyai selesaian real.

SMA Negeri 5 Bengkulu
Eddy Hermanto, ST

 

Solusi
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2008
Bagian Kedua
3. Misalkan O adalah pusat lingkaran dalam segitiga ABC. Maka garis bagi dari B dan C akan melalui

titik O.

Karena CO dan BO adalah garis bagi maka ∠ECO = ∠DCO dan ∠DBO = ∠FBO

Misalkan ∠ECO = ∠DCO = γ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1) dan ∠DBO = ∠FBO = β ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2)

Jelas bahwa ∠CEO = ∠CDO = 90o sehingga ∠EOD = 180o − 2γ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3)

Jelas juga bahwa ∠BDO = ∠BFO = 90o sehingga ∠DOF = 180o − 2β ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (4)

Maka ∠EOF = 360o − ∠EOD − DOF = 2(γ + β) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (5)

Segitiga EOF adalah segitiga sama kaki sehingga ∠OEF = ∠OFE = 90o − (γ + β) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (6)

Lingkaran dalam menyinggung segitiga ABC di D, E dan F sehingga CE = CD dan BD = BF.

Karena CE = CD dan OE = OD maka segiempat CEOD adalah layang-layang. Jadi, CO ⊥ ED.

ED = 2 CE sin γ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (7)

∠CED = 90o − γ sehingga ∠OED = γ

∠GED = ∠OEF + ∠OED = (90o − (γ + β)) + (γ) = 90o − β ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (8)

EG = ED cos ∠GED = (2 CE sin γ)(cos (90o − β)

EG

= 2 sin γ sin β

CE

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (9)
Karena BD = BF dan OD = OF maka segiempat BDOF adalah layang-layang. Jadi, BO ⊥ DF.

DF = 2 BF sin β ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (10)

∠BFD = 90o − β sehingga ∠OFD = β

∠GFD = ∠OFE + ∠OFD = (90o − (γ + β)) + (β) = 90o − γ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (11)

FG = DF cos ∠GFD = (2 BF sin β)(cos (90o − γ)

FG

= 2 sin γ sin β

BF

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (12)
Dari persamaan (9) dan (12) dapat disimpulkan bahwa
∴ Terbukti bahwa
FG EGFG BF

sehingga.==

BF CEEG CE

FG BF

=

EG CE

Eddy Hermanto, ST
SMA Negeri 5 Bengkulu

 

Solusi
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2008
Bagian Kedua
4. Andaikan bahwa tidak ada tiga bilangan berdekatan yang jumlahnya lebih besar dari 15.

Jika terdapat tiga bilangan dengan dua diantaranya adalah 7, 8 atau 9 maka ketiga bilangan

tersebut akan memiliki jumlah lebih dari 15. Maka haruslah terdapat dua bilangan di antara 7, 8

dan 9. Kemungkinan susunan hanya ada 1, yaitu :

Rata-rata enam bilangan 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 adalah 3,5.

Maka maks (A + B, C + D, E + F) ≥ 7.

  • • Jika maks (A + B, C + D, E + F) = 7 maka A + B = C + D = E + F = 7

Maka 9 jika dipasangkan dengan salah satu dari pasangan (A, B), (C, D) atau (E, F) akan

membentuk tiga bilangan yang jumlahnya lebih dari 15. Kontradiksi dengan anggapan

semula.

  • • Jika maks (A + B, C + D, E + F) > 7 maka maks (A + B, C + D, E + F) ≥ 8

Pasangan bilangan yang memiliki nilai maks tersebut pasti akan berdekatan dengan 8 atau 9

yang penjumlahan ketiga bilangan tersebut akan bernilai lebih besar dari 15. Kontradiksi dengan

anggapan semula.

∴ Terbukti bahwa ada tiga bilangan berdekatan yang jumlahnya lebih besar dari 15.

5. Sebuah bilangan akan habis dibagi 3 apabila penjumlahan angka-angkanya habis dibagi 3.

Ada 4 angka/digit yang habis dibagi 3 dan masing-masing ada 3 angka/digit yang bersisa 1 atau 2

jika dibagi 3.

Misalkan bilangan palindrom tersebut adalah abcba. Penjumlahan angka = 2(a + b) + c.

Karena angka pertama tidak boleh 0 maka banyaknya cara memilih digit a ≡ 0 (mod 3) hanya ada

3 kemungkinan.

• Jika c ≡ 0 (mod 3)

Maka 2(a + b) ≡ 0 (mod 3) sehingga a + b ≡ 0 (mod 3)

Tiga kemungkinan pasangan (a, b) adalah a ≡ 0 (mod 3) dan b ≡ 0 (mod 3), a ≡ 1 (mod 3) dan

b ≡ 2 (mod 3) atau a ≡ 2 (mod 3) dan b ≡ 1 (mod 3)

Banyaknya cara memilih digit c adalah 4.

Maka banyaknya cara memilih bilangan palindrom jika c ≡ 0 (mod 3) = 4 ⋅ (3 ⋅ 4 + 3 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3)

Maka banyaknya cara memilih bilangan palindrom jika c ≡ 0 (mod 3) = 120.

• Jika c ≡ 1 (mod 3)

Maka 2(a + b) ≡ 2 (mod 3) sehingga a + b ≡ 1 (mod 3)

Tiga kemungkinan pasangan (a, b) adalah a ≡ 0 (mod 3) dan b ≡ 1 (mod 3), a ≡ 1 (mod 3) dan

b ≡ 0 (mod 3) atau a ≡ 2 (mod 3) dan b ≡ 2 (mod 3)

Banyaknya cara memilih digit c adalah 3.

Maka banyaknya cara memilih bilangan palindrom jika c ≡ 1 (mod 3) = 3 ⋅ (3 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + 3 ⋅ 3)

Maka banyaknya cara memilih bilangan palindrom jika c ≡ 1 (mod 3) = 90.

SMA Negeri 5 Bengkulu
Eddy Hermanto, ST

 

Solusi
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2008
Bagian Kedua
   Jika c ≡ 2 (mod 3)

Maka 2(a + b) ≡ 1 (mod 3) sehingga a + b ≡ 2 (mod 3)

Tiga kemungkinan pasangan (a, b) adalah a ≡ 0 (mod 3) dan b ≡ 2 (mod 3), a ≡ 1 (mod 3) dan

b ≡ 1 (mod 3) atau a ≡ 2 (mod 3) dan b ≡ 0 (mod 3)

Banyaknya cara memilih digit c adalah 3.

Maka banyaknya cara memilih bilangan palindrom jika c ≡ 2 (mod 3) = 3 ⋅ (3 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4)

Maka banyaknya cara memilih bilangan palindrom jika c ≡ 2 (mod 3) = 90.

Banyaknya bilangan palindrom yang memenuhi adalah 120 + 90 + 90 = 300.

∴ Banyaknya bilangan palindrom 5-angka yang habis dibagi 3 adalah 300.

SMA Negeri 5 Bengkulu
Eddy Hermanto, ST

 

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

KIKI MALIKA PRIMADANI

Let's Around The World

LINGUA BLOG

Just Another Lingua Blog Wordpress.com

MADRASAH DINIYAH PLUS AL-MANSHUR

Madrasah Diniyah Plus Al-Manshur Pinggirsari Ponorogo

Protech Parabola ™

Biss Key | Forum Parabola | Sepak Bola | FTA | Liga Inggris | Liga Champions | Liga Spanyol | Liga Italia | IPM | Feed

sastrawan808

Penulis muda muslim, aktivis sosial, penggebrak perubahan menuju kesuksesan dunia dan akhirat

Catatan Dahlan Iskan

dahlaniskan.wordpress.com

Mr.Sahrul Santri

SaSatorial_SahrulSantriTutorial

Just in Write

Just be yourself

NoerDblog

Secangkir narasi alam

Lambangsarib's Blog

Catatan Orang Biasa

Life Fire

Man Jadda Wajada | Dreams will be achieved when we truly believe in our heart ˆ⌣ˆ

nimadesriandani

Balanced life, a journey for happiness site

Catatan Hidup

Jadikan semua kejadian sebagai pembelajaran hidup

Rindrianie's Blog

Just being me

Febriyan Lukito

sharing, caring and enriching life

AULIA FASYA

Daily Stories, Poem, Feeling, and You!

Matt on Not-WordPress

Stuff and things.

%d blogger menyukai ini: